Trasparenza, Glasnost, Transparency

Cifrario matriciale

Data: 25 set 2003


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ℐl cifrario che andiamo a vedere è una semplice evoluzione del cifrario di Cesare che si basa sui concetti di algebra lineare e cioè sul calcolo matriciale. Ho tratto l'idea da un articolo di Hacker Journal ma probabilmente queste idee fanno parte dell'introduzione dei testi universitari che parlano di crittografia.

Per cifrare il messaggio che supponiamo in caratteri ascii, lo dividiamo in blocchi di N*N caratteri e lo moltiplichiamo per la matrice A che supponiamo quadrata di ordine N (matrice N*N). Per la decifratura è sufficiente moltiplicare il messaggio cifrato diviso in blocchi di N*N caratteri, per la chiave A-1.

Un teorema ci dice che A è invertibile sse (se e solo se) ha determinante non nullo, un altro teorema ci dice che deve avere determinante pari a ±1 sse vogliamo che A-1 abbia valori interi (cioè matrice a elementi in Z), cosa molto comoda.

Con OCTAVE possiamo fare tutti i calcoli del caso, riporto immediatamente di seguito i comandi direttamente inseribili in Octave per seguire l'esempio. Se scegliamo:

"; ?>

eq 1

A=[1,2;3,5]

il determinante è:

eq 2

det(A)

l'inversa ha quindi valori in Z:

eq 3

inv(A)

supponiamo che il messaggio sia:

M=[1,2,3,4,5,6,7,8,9]

dove per facilità di comprensione del problema possiamo fare corrispondere al numero 1 la lettera a, al numero 2 la lettera b, ecc, quindi M sarà anche:

M=[a,b,c,d,e,f,g,h,i,l]

dividiamolo in vettori di dimensione 2:

eq 4

m1=[1;2]
m2=[3;4]
m3=[5;6]
m4=[7;8]
m5=[9;0]

il messaggio cifrato C sarà:

eq 5

C=[A*m1;A*m2;A*m3;A*m4;A*m5]

che avrà questo codice numerico:

eq 6

ovvero mettendolo in una unica riga:

C = [5  13  11  29  17  45  23  61   9  27]




L'operazione di decifratura è del tutto simmetrica, si scompone il messaggio cifrato C in 5 sotto-messaggi:

eq 7

c1=[05;13]
c2=[11;29]
c3=[17;45]
c4=[23;61]
c5=[09;27]

e si riottiene il messaggio:

eq 8

a=inv(A)
M=[a*c1;a*c2;a*c3;a*c4;a*c5]

e cioè:

M=[1,2,3,4,5,6,7,8,9]
M=[a,b,c,d,e,f,g,h,i,l]

Esistono dei piccoli problemi pratici come ad esempio il caso di messaggi a lunghezza non multipla dell'ordine della matrice scelta, come nel caso mostrato e poi il problema di riportare in codifica ASCII il messaggio cifrato.
Il primo si può risolvere riportando a inizio messaggio la lunghezza del messaggio stesso e aggiungendo nei posti liberi in coda dei caratteri casuali, il secondo si può risolvere esprimendo in base 127 (o quanti sono i caratteri ASCII stampabili) il messaggio oppure utilizzando una compressione che dia una uscita ASCII.

Per quanto riguarda la determinazione di una matrice N*N che abbia determinante unitario si ricade nella teoria delle matrici di SL(N,Z). Se qualcuno è interessato mi posso informare riguardo questa teoria che però a prima vista pare complessa e inoltre non ho trovato funzioni di Octave che le generino. Mi pare di avere capito che vengano anche chiamate matrici monodrome.

Se il problema fosse difficile si può ricorrere alla matematica delle frazioni visto che l'inversa di una matrice a elementi interi è una matrice a elementi frazionari.

Nota: Il cifrario di Cesare ottiene il testo cifrato aumentando di tre il codice ASCII di ogni lettera del messaggio in chiaro, per esempio "cesare" diventa "fhvduh". Corrisponde in pratica a un ROT-3.



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Data: 25 set 2003
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argomento: Crittografia, articoli: Palladium, DES: Segreto, segretissimo o…quasi, Nozioni di Crittografia

argomento: Matematica, articoli: Filtri Bayesiani, Anonymous Remailer (GnuPG e la posta elettronica), La precisione dei sondaggi, Sondaggi, Informazione di una Password








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Uomo di Cheddar di 9'000 anni fa

Inglese di 9 mila anni fa ricostruito in base al DNA del Cheddar man il cui scheletro completo e ben conservato e stato ritrovato in Gran Bretagna. Aveva la pelle scura e gli occhi azzurri in base al DNA.

L’Uomo di Cheddar era un Homo Sapiens, era alto 166 centimetri e quando morì era intorno ai 20 anni. Faceva parte di una popolazione di cacciatori-raccoglitori, era intollerante al lattosio e agli amidi, aveva un sistema immunitario che lo difendeva da molte malattie. Quest'uomo è distante da noi solo 450 generazioni.

Lo spagnolo Uomo di La Braña, analogo a questo (pelle scura e occhi azzurri), era distante da noi solo 350 generazioni (7 mila anni).

Fonte: Nature
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