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Parte II
(varianza di ß)


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Per calcolare il campo di variabilità del parametro ß dobbiamo considerarlo come v.a..

Definiamo la v.a. ß basandoci sulle v.a. di Poisson, tempi di interarrivo, xi:
N

------------ = ß (2.1)
Ni=1 xi

Il problema di passare alla variabile aleatoria ßN non è banale. Definiamo la v.a. rN che sarà di Erlang con densità degli arrivi che possiamo fissare pari a ß oppure più realmente pari a ß stimata [1.5] frutto della media dei campioni che di seguito chiamiamo ß*N.
r(N)=sum(x(i))

ßN è quindi:

ßN=N/r(N)

La sua densità è pari a:

f(b)=N * (ß*N)^N/(N-1)! * 1/b^(N 1) * e(-ß*N/b)

Ora si evince la non banalità del problema in quanto E[ßN] non coincide con ß*N. Molto probabilmente la coincidenza si ha in probabilità per N->∞. Mi chiedo se ha validità assumere come migliore stima della densità degli arrivi al posto di ß*N la media E[ßN] con densità ß*N.

Dai calcoli fatti con octave, generando una serie di N=30 campioni poissoniani con densità 0.1, risulta:

ß*N=0.0997

E[ßN]=0.103

E[ßN^2]=0.0110

var normalizzata= 0.0195

Sembrerebbe un po' troppo alta, rappresenta un errore del 20%, sembra che ci sia una precisione su ß data dalla media dei campioni, pari a circa 2-5%.
Nel plot che segue si vedono con le crocette verdi le sucessive ß(i) con i variabile da 1 a 30, le due linee orizzontali sono invece ß*N più o meno la varianza normalizzata.

Grafico delle successive approssimazioni di beta

Figura 1

A questo punto approfondirò la teoria in particolare della Stima Bayesiana che pare la più recente e la più carina secondo Papoulis ma ho delle lacune sul concetto di funzione di variabile aleatoria condizionata da un'altra v.a..

Segue nella Appendice i calcoli Octave/MatLab utilizzati.
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Sandro kensan

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