Stimatore del tempo di attesa per finire un download
Parte I
(calcolo di media e varianza)


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Siano t1,t2,...,tN gli istanti di arrivo dei primi N pacchetti che ci arrivano da internet e che formano il nostro attuale Download. Supponiamo che la connessione sia buona e che non ci siano pacchetto persi.
Sia M il numero totale di pacchetti, quindi ci aspettiamo ancora M-N arrivi di pacchetti. Ci proponiamo di stimare il tempo di arrivo dell'ultimo pacchetto e la sia varianza, cioè vogliamo sapere quando terminerà il Download e con che livello di approssimazione.

Dalla teoria delle code è noto che i tempi di interarrivo sono variabili aleatorie (v.a.) di Poisson, definiamo le seguenti realizzazioni di tali tempi, detti campioni:
xi=ti-ti-1       i=1...N       (1.1)
Ad ogni campione xi corrisponde una v.a. le quali saranno indipendenti, equidistribuite e di Poisson. Chiamiamo x una di queste e chiamiamo ß la relativa densità degli arrivi.

I campioni xi sono legati alla media E[x] dal Teorema dei grandi numeri e per N->∞ si ha con probabilità certa che:
1

-- Ni=1 xi = E[x]       (1.2)
N

Si ha per le v.a. di Poisson che:
1

-- = E[x]       (1.3)
ß

Per N finito avremo una stima di E[x] e di ß che chiamiamo rispettivamente xmedN e ßN, date da:

1

xmedN = -- Ni=1 xi       (1.4)

N


1
ßN = ------       (1.5)

xmedN
La varianza di x è E[(x-E[x])2], la sua stima basata sui campioni è varN2 che è data da:

1
1


varN2 =
---- Ni=1 (xi - xmedN)2 - ------
[∑ Ni=1 (xi - xmedN)]2
      (1.6)

N-1
N(N-1)



I tempi di arrivo ti possono essere visti come al solito sia come campioni che come v.a. somma dei tempi di interarrivo xi.

Ora ci interessa determinare media e varianza della v.a. tM dove M è l'ultimo arrivo che termina il Download.

tM è una v.a. di Erlang somma di v.a. di Poisson indipendenti, la v.a. che risulta condizionando tM dai precedenti N interarrivi xi è una v.a. di Erlang con densità di probabilità data da:
ƒM|N(a)=ƒM-N(a-tN)       (1.7)
dove tN è l'ultimo arrivo visto come campione.

La stima della media tmedM|N e della varianza varM|N2 di tM|N è dovuto al fatto che si ha solo la stima della densità dei pacchetti che arrivano, ßN e quindi si ha:

M
tmedM|N = ---       (1.8)

ßN

M-N
varM|N2 = ------       (1.9)

N)2

Facendo l'approssimazione sulla v.a. di Erlang con una Gaussiana si ha il risultato pratico:

tM è in tmedM|N ± varM|N con probabilità del 68%       (1.10)

A questo punto bisogna precisare che il risultato appena enunciato si basa sulla certezza sulla densità dei pacchetti che arrivano e non sulla sua stima che ha anch'essa una varianza che andiamo a calcolare nel prossimo articolo: (Parte II).
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Sandro kensan

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